數學家的故事———數學王子高斯

高斯\\(Carl Fried rich Gauss，1777～1855\\)德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。

1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。1795～1798年在格丁根大學學習1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數學王子”之稱。高斯的成就遍及數學的各個領域，在數論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均有開創性貢獻。他十分注重數學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用數學方法進行研究。

幼年時，他在數學方面就顯示出了非凡的才華。3歲能糾正父親計算中的錯誤；10歲便獨立發現了算術級數的求和公式；11歲發現了二項式定理。少年高斯的聰穎早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青與資助，使他得以不斷深造。19歲的高斯在進大學不久，就發明了只用圓規和直尺作出正17邊形的方法，解決了兩千年來懸而未決的幾何難題。1801年，他發表的《算術研究》，闡述了數論和高等代數的某些問題。他對超幾何級數、復變函數、統計數學、橢圓函數論都有重大貢獻。作為一個物理學家，他與威廉.韋伯合作研究電磁學，并發明了電極。為了進行實驗，高斯還發明了雙線磁力計，這是他對電磁學問題研究的一個很有實際意義的成果。高斯30歲時擔任了德國著名高等學府天文臺臺長，并一直在天文臺工作到逝世。他平生還喜歡文學和語言學，懂得十幾門外語。他一生共發表323篇（種）著作，提出了404項科學創見，完成了4項重要發明。

高斯去世后，人們在他出生的城市豎起了他的雕像。為了紀念他發現做出17邊形的方法，雕像的底座修成17邊形。世人公認他是一位和牛頓、阿基米德、歐拉齊名的數學家。他八歲時進入鄉村小學讀書。教數學的老師是一個從城里來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教書真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認真。

這一天正是數學教師情緒低落的一天。同學們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來?！澳銈兘裉焯嫖宜銖?加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯?！崩蠋熤v了這句話后就一言不發。教室里的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一個數后就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。

還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去?！袄蠋?，答案是不是這樣?”老師頭也不抬，說“：去，回去再算!錯了?！彼氩豢赡苓@么快就會有答案了?？墒歉咚箙s站著不動，把石板伸向老師面前：“老師!我想這個答案是對的?！?/p>

數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5050，這個8歲的小孩怎么這樣快就得到了這個數值呢?高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古時希臘人和中國人用來計算級數1+2+3+4+5…+n的方法。高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的。他以后也認真教起書來，并且還常從城里買些數學書自己進修并借給高斯看。

在他的鼓勵下，高斯以后便在數學上作了一些重要的研究了。

夢想與現實———谷神星的發現

1766年，德國有一位名叫提丟斯（J.D.Titius,1729～1796）的中學數學教師，把下面的數列：3，6，12，24，48，96，192……在這個數列的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每個數字都加上4，就得到了下面的數列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每個數都除以10，最后得到：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……令提丟斯驚奇的是，他發現這個數列的每一項與當時已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太陽的距離比例（地球到太陽的距離定為1個單位）有著一定的聯系。

1772年，德國柏林天文臺臺長波德（JohannElertBode,1747～1826）深知這一發現的重要意義，就于1772年公布了提丟斯的這一發現，這串數從此引起了科學家的極大重視；并被稱為提丟斯———波得定則（Titius-Bodelaw）。數列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……即太陽系行星與太陽的平均距離。

當時，人們還沒有發現天王星、海王星，以為土星就是距太陽最遠的行星。1781年，英籍德國人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數列中的第八項）發現了天王星，從此，人們就對這一定則深信不疑了。根據這一定則，在數列的第五項即2.8的位置上也應該對應一顆行星，只是還沒有被發現。于是，許多天文學家和天文愛好者便以極大的熱情，踏上了尋找這顆新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文學家皮亞齊還在聚精會神地觀察著星空。突然，他從望遠鏡里發現了一顆非常小的星星，正好在提丟斯———波得定則中2.8的位置上?？墒?，當皮亞齊再想進一步觀察這顆小行星時，他卻病倒了。等到他恢復健康，再想尋找這顆小行星時，它卻不知去向了。皮亞齊沒有放棄這一偶然的機會，他認為這可能就是人們一直沒有發現的那顆行星，并把它命名為“谷神星”。天文學家對皮亞齊的這一發現持有不同的看法。有人認為皮亞齊是正確的；也有人認為這可能是一顆彗星，不然的話，為什么它只露了一面就不見了呢?

幾個月過去了，人們的爭論也沒見分曉?？墒?，這場爭論卻引起了德國數學家高斯的注意。高斯想，既然天文學家通過觀察找不到谷神星，那么，是否可以通過數學方法找到它呢?許多天文學家對高斯的這一提法不以為然。天文學家都找不到谷神星，難道高斯還能把它算出來嗎?朋友們也勸他不要把自己的時間和才智浪費在這一毫無希望的問題上。年輕的高斯卻有自己的看法。他認為，天文學是離不開數學的。如果沒有雄厚的數學知識，是不可能成為一個出色的天文學家的。在天文學發展史上，情況也正是如此。開普勒正是憑借著自己的數學才能，才發現了行星運動的三大定律。牛頓也是憑著淵博的數學知識，才發現了萬有引力定律。在高斯之前，著名數學家歐拉曾經研究出了一種計算行星軌道的方法?？墒?，這個方法太麻煩。高斯決心去尋找一種簡便易行的方法。在前人的基礎上，高斯經過艱苦的運算，以其卓越的數學才能創立了一種嶄新的行星軌道計算理論。他根據皮亞齊的觀測資料，利用這種方法，只用了一個小時就算出了谷神星的軌道形狀，并指出它將于何時出現在哪一片天空里。

1801年12月31日夜，德國天文愛好者奧伯斯，在高斯預言的時間里，用望遠鏡對準了這片天空。果然不出所料，谷神星出現了!
高斯的計算方法成功了。高斯從筆尖上尋找到的這顆行星，在隱藏了整整一年后，卻又成為人類的最好的新年禮物。這一禮物向人們顯示了數學在科學研究中的巨大作用。

這一故事告訴我們：谷神星在比亞茲發現前就已客觀存在的；太陽到行星的距離分布是有規律的，太陽與行星之間是和諧的。

數列中蘊含的數學方法

數列這一章蘊含著多種數學思想及方法，如函數思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學本身也包含著豐富的數學方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數列概念、公式的理解，而且運用數學思想方法解決問題的過程，往往能誘發知識的遷移，舉一反三、融會貫通的解決多數列問題。在這一章主要用到了以下幾中數學方法：

不完全歸納法。不完全歸納法不但可以培養學生的數學直觀，而且可以幫助學生有效的解決問題，在等差數列以及等比數列通項公式推導的過程就用到了不完全歸納法。

倒敘相加法。等差數列前n項和公式的推導過程中，就根據等差數列的特點，很好地應用倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。

錯位相減法。錯位相減法是另一類數列求和的方法，它主要應用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉化，并且是多個數求和的問題。等比數列的前n項和公式的推導就用到了這種思想方法函數的思想方法。數列本身就是一個特殊的函數，而且是離散的函數，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數列與等比數列這兩類特殊的數列時，可以將它們看成一個函數，進而運用函數的性質和特點來解決問題。

方程的思想方法。數列這一章涉及了多個關于首項、末項、項數、公差、公比、第n項和前n項和這些量的數學公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數學量的過程中，可將它們看成相應的已知量和未知數，通過公式建立關于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程等比數列與等差數列雖然是兩類不同的數列，但是它們在研究方法、性質上都有很多的共通之處。因此，等比數列的學習可采用類似等差數列相應知識的方法，不但可以很容易接受等比數列的內容，還可以加深對等差數列的理解。