1 中國早期數學文獻簡介
2007 年 12 月湖南大學岳麓書院從香港搶救性收購了一批秦代竹簡，這批竹簡是繼 1975 年云夢睡虎地秦簡和 2002 年湘西里耶秦簡之后的又一次重要發現。 其中涉及數學內容的竹簡二百四十余枚，總字數 6300 字左右，完整算題 80 余例，另有解決某一類問題的單獨術文。按照原簡背面的標題，這部分被稱為《數》，經研究確定其成書時間早于 1983 年出土于湖北張家山漢墓的《算數書》，成為迄今為止所發現的最早的系統性中國數學文獻。
秦漢時期的數學史料極其稀缺， 每一次考古發現涉及數學的部分，都值得深入研究。但其他一些涉及數學內容的竹簡，僅記載零星的數學資料， 如清華大學所藏戰國竹簡中有記載乘法運算的 《算表》，2002 年發現的里耶秦簡中也有 “九九乘法口訣 ”，其能提供的數學史信息均不夠豐富。 少有像《算數書》和《數》這樣較為完整具、編排較成體系的著作?！端銛禃纷?2001 年簡文公布以來，在數學史界產生了重大影響，關于其作者以及與《九章算術》的關系等問題，學界均作了深入研究和討論，中國數學史的開篇將因此改寫，《算數書》成為不可不書的重要一章。 2012 年 12 月《數》的原簡照片出版公布，經考古學界和數學史界的初步研究發現，與《算數書》一樣，《數》的題目類型、內容、表述方式和解題思路跟漢代成書的經典傳世文獻《九章算術》有密切聯系，與《算數書》也有部分呼應，另外還出現了其他早期數學文獻中罕見的駐扎營軍問題。
而一直作為數學史界研究重點的《九章算術》，在有了《算數書》和《數》這兩部出土文獻作為文本上的 “他者 ”（the other）的對照 ，也隱隱凸顯出以往被忽略的一些特性，如更宏大的問題背景、更嚴謹的數據處理和更復雜的制度設計思想等。 這或許意味著，在中國傳統數學實用取向的基礎上，還分化出不同的層次。 有必要將傳世文獻《九章算術》與出土文獻《算數書》《數》就其中的典型問題進行深入比較，進一步解釋這三者之間的聯系與區別，這將有助于我們加深對中國早期數學的理解和認識。
2 秦漢時期的土地面積單位轉換問題
上述三種文獻中，關于面積單位換算有“平方步與畝”的換算和“平方里與畝”的換算兩種。 前一種在三文本中均比較常用 ，而換算的方式往往沒有明確給出，有時暗含在術文之中，基本上可以認為這種換算是極為普通的背景知識，且畝在實際運用中是記錄面積的最普遍單位標準。 我們看到三種文本中凡是結果超過二百四十平方步的答案，全部轉換為一畝（又）多少步的形式。
而對于第二種轉換，三文本中都專門提及，稱為“里田術”，但顯然應用率不高，《數》中只有里田術文，無算例；《算數書》中有兩種術文，一道算例；《九章算術》中有術文，配合兩道極為簡單的算例。 除此之外，未有以里作為單位記錄的長度，以及把平方里轉換為畝的情況。這與單位里的長度過大有關，依秦制，一里等于 300 步，在日常的土地測量中用到這么大的計量單位較少?！端銛禃分欣锾镄g僅有的一道例題后，“直（置）提封以此為之”一句也為我們提示了這一點。提封，亦稱提封田?！稘h書﹒地理志下》“提封田一萬萬四千四百一十三萬六千四百五傾”，師古曰：“提封者，大舉其封疆也?！?br>看來“平方里”的面積單位，在涉及邊疆土地的丈量和劃界中會使用到。 但是，即便在經常處理宏大問題的《九章算術》中，這種計量和換算也很少見。
2.1 平方步與畝之間的轉換
《九章算術》中首次提到平方步與畝之間的換算是在方田術文里 ，“以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一傾”?！端銛禃分械?64 題啟廣題題中使用了一畝等于 240 平方步的關系。 “啟廣 回從 （縱）卅步，為啟廣幾何而為田一畝？ 曰：啟【廣】八步。 術曰：以卅步為法，以二百卌步為實。 啟從（縱）亦如此。 ”
求為田一畝時的廣長，直接以 240（平方）步作為被除數，顯然是默認了這一轉換關系。 而在《數》中的第1714 號簡記錄的 “除田之術 ”為 《算數書 》和 《九章算術 》所沒有 ，肖燦博士認為此處模糊的首字可訓解為開、啟，給出或張開、伸展之意，并轉引鄒大海先生的觀點，認為這與《算數書》中的“啟廣”、“啟從”問題同意，但從內容來看，這卻為“啟廣”、“啟從”的逆運算。
除田之述（術）曰：以從（縱）二百卌步者，除廣一步，得田一畝，除廣十步，得田十畝，除廣百步，得田一頃，除廣千步得田【十傾】 1714而筆者認為此處的意義更在于告訴了當從為 240 步、廣為 1 步時的面積，240（平方）步即為一畝。并且間接提到了單位傾與畝之間的關系，“除廣百步，（得百畝），得田一傾”。 在簡 0829、0954、0976、0761 中都運用到了平方步與畝的換算。 而可以推測簡 1714 所在原簡編連中的位置有可能在這些簡之前，否則給出這樣簡單、化整的數據來說明一條術文，意義并不大。 然而這個換算關系并非一直是統一的，“周代的田畝制度，一畝是一百平方步，到秦孝公時，商鞅廢井田，開阡陌，制定的畝制是二百四十平方步。在漢武帝之前，周制與秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一畝， 到了漢武帝時統一規定，均以二百四十平方步為一畝。 ”在三種文獻的少廣問題中，都暗含著一畝等于二百四十平方步的條件，這種換算是直接拿來使用的。
2.2 平方里與畝之間的轉換
我們再看介紹平方里與畝換算關系的里田術?！稊怠分械睦锾飭栴}比較簡單：
里田述（術）曰：里乘里=，〔里〕也，因而參之，有（又）參五之，為田三頃七十五畝。 0947“叁之，有（又）叁五之”表示用 3 稱，再用 5 連續稱三次，這樣一平方里就轉化成了 375 畝，即三傾七十五畝。 算術表示為：1（平方里）=1×3×5×5×5=375 畝=3 傾 75 畝。 這與《算數書》中的一種表述十分類似：
里田術曰：里乘里，里也，廣、從（縱）各一里，即直（置）一因而三之，有（又）三五之，即為回三頃七十五敵。 其廣從（縱）不等者，先以里相乘，已乃因而三之，有（又）三五之，乃成。我們先對這個 1 平方里=375 畝的結果作個解釋。 因為 1 里等于300 步，那以平方步來算，其面積為 300×300 平方步，再結合一畝等于240 平方步的默認條件，得到（300×300）/240=375 畝。 這個結果與上面3×5×5×5 的結果是完全一致的 。 但這個連乘式有何數學意義，分別為《算數書》和《數》作注釋的彭浩先生和肖燦博士都沒有給出。 彭先生認為“此算法把一平方里為田三百七十五畝以 3×（5×5×5）表示，省去把里化作平方步相乘，再以畝法相除的復雜數字計算，并以一位數代替多位數相乘，大大簡化了運算。 ”
其實這里只是找到了一種等價的算式，而非簡化了運算，（300×300）/240 不能直接化簡為 3×（5×5×5）。 其他數學換算思路也都無法得解。 這里的算式有拼湊結果之疑，這種做法在《數》中一道盈不足算題里也可以體現。那《九章算術》在里田術方面是怎樣記述的呢？
里田術曰：廣從里數相乘得積里。 以三百七十五乘之，即畝數。亦是直接給出了換算結果，沒有數據得來過程。即便連向來全面、嚴謹的劉徽在這里的注釋也只寫了“按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得商數也”，沒有提到任何 3×（5×5×5）的步驟。 另查沈康身、李繼閔兩位先生對《九章算術》的經典注釋，也都是用（300×300）/240 來解釋此結果。 我們可以懷疑是張蒼、耿壽昌在編纂《九章算術》或劉徽在注釋《九章算術》時，將當時流傳的這個不合理的運算給刪去了。 若是這樣，對數學結果的接受，但不取其不合理的運算過程，這是數學知識的進步，或是更嚴謹的數學體系（如《九章算術》）對非理性的運算的篩選和過濾。
此外，《算數書》中的里田術還記載了另外一種轉換方式，“有（又）曰：里乘里，里也，【因而三之】，以里之下即予廿五因而三之，亦其頃畝數也?！焙雎云淙蛭逑喑说牟糠?，最終其表示的是將三百七十五畝先化為三傾七十五畝，把三傾七十五畝按單位拆分為三傾+七十五畝。這樣在轉換平方里為“傾-畝”的單位時，分別拿平方里數乘以“三傾”和“七十五畝”，前者得到的結果單位是傾，后者得到的結果單位是畝。 彭浩先生認為這使得龐大的數字計算簡化，并為《夏侯陽算經》中“身外加（減）法”之先聲。固然對于以算籌計算大數據相乘是有很大不便，但是后一種方法也需要在乘以七十五畝之后，將得到的結果再轉化為“傾-畝”制，并與前一項以“傾”為單位者相加方可得到結果。
【參考文獻】
［1］陳松長．岳麓書院所藏秦簡綜述[J]．文物，2009（3）：75．
［2］李均明，馮立昇．清華簡《算表》概述[J]．文物，2013（8）：73-75．
［3］轉引自彭浩．張家山漢簡《算數書》注釋[M]．北京：科學出版社，2001：126．
［4］郭書春．《九章算術》譯注[M]．上海：上海古籍出版社，2009：13．
［5］張家山漢墓竹簡整理小組．張家山漢墓竹簡 （二四七號墓 ）[M]．北京 ：文物出版社，2006：153．
［6］肖燦．岳麓書院藏秦簡《數》研究[D]．2010：41．
［7］劉艷．張家山漢簡《算數書》所見社會經濟生活問題考察[D]．2008：62．
［8］張家山漢墓竹簡整理小組.張家山漢墓竹簡 （二四七號墓 ）[M]．北京 ：文物出版社，2006：157．
［9］彭浩．張家山漢簡《算數書》注釋[M]．北京：科學出版社，2001：126．
［10］郭書春．《九章算術》譯注[M]．上海：上海古籍出版社，2009：17．
［11］彭浩．張家山漢簡《算數書》注釋[M]．北京：科學出版社，2001：127
