利用離散時間傳染模型去研究網絡病毒傳播特性，比應用連續時間模型更為簡單和準確。近年來，許多研究人員利用離散時間傳染病模型研究網絡病毒的傳播特性并取得豐富的研究成果[1-3]。本文基于文獻[4]建立了一類病毒傳播的動力學模型，應用相關定理、方法分析了模型的穩定性問題。

1、模型的建立

假設在網絡（例如：計算機網絡、手機網絡、微信網絡等）中，某一病毒按照以下模型進行傳播，模型中 S\\(k\\) 、I\\(k\\) 、A\\(k\\) 為第 k 時刻易感主體、被感染主體、患病主體的數量。 k=0,1,2,...... 為離散時間節點。

其中，b>0 為網絡中從時刻 k 到時刻 k+1新增的易感主體的數量; 0<β<1為第 k 時刻易感主體被感染主體傳染的有效接觸率; 0

設系統\\(1\\)在時刻 k=0 滿足 S\\(k\\) 、I\\(k\\) 、A\\(k\\) 都為非負值，且任一時刻 k 都有：

顯然，系統\\(1\\)有無病平衡點 \\(S0,I0,A0\\) ，其中,S0=b/d ，I0=A0=0 。計算得系統\\(1\\)的有病平衡點\\(Se,Ie,Ae\\) ，其中：

2、無病平衡點穩定性的證明

定理1 若 ，則模型\\(1\\)的無病平衡點不穩定。

證明：系統\\(1\\)在無病平衡點 \\(S0,I0,A0\\) 的一次線性近似系統為：

系統（2）的雅可比矩陣 D 的三個特征值分別為:

，又因為d+u+m<1，所以，λ2>0 。

由李亞普諾夫第一方法[5]，當所有的特征值都包含在單位圓內時，無病平衡點漸近穩定，所以只需：

當特征值不全包含在單位圓內時，系統平衡點不穩定，即：

3、有病平衡點的穩定性證明

定理2 當時，以下條件滿足：

或者當時，以下條件滿足：

則模型\\(1\\)的有病平衡點漸近穩定。

證明：作變換, 則系統\\(1\\)在有病平衡點的一次線性近似系統為：

其雅可比矩陣：

其中：

顯然，，由圓盤定理，得：

區分當 a11>0 或 a11<0 兩種情形，分別討論上面\\(4\\)～\\(9\\)式，使矩陣 D1的特征值全在單位圓內。定理2則得證。

4、結論

從以上的證明可以得出，當 R0<1時，染病類主體以及患病類主體從網絡中消失，病毒不會在網絡中流行；當滿足有病平衡點的漸近穩定條件時，疾病會在網絡中流行。但由于筆者水平有限，文章為對病毒進行數值仿真，在以后的研究中，會盡力給出仿真。

總之，格林函數是由單位點源引起的函數，根據線性方程的疊加性，只要求出點源引起的解，對任意源問題，在點源解的基礎上作積分就可迎刃而解。

參考文獻

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