筆者在前一篇論文中，曾說到我國近代洋務學堂和近代學校興起后，數學、數學教育與數學教科書的變革將另撰文發表。這是因為這一時期，在文化上處于“中西文化沖突而又融合的成長道路，異彩紛呈的內部結構和救亡圖存的時代主題”這樣一種文化轉型期，在教育上，也處于中國傳統教育向近代教育轉化的階段。而在中國具有悠久歷史和輝煌傳統的數學和數學教育，在這時也面臨著徹底的變革，正如田淼所說: “清代末期，傳統的政治體系和教育體系走向崩潰。西方數學作為西方軍事技術及民用技術的基礎得到了普遍重視，并最終進入基礎教育體系且主導了中國數學研究的方向。中國數學的西化正是在這樣的環境中基本完成的。西方數學在明代政權將被取代之際被引入中國，而中國數學西化的歷程在清代政權接近滅亡及傳統文化、政治體系遭遇毀滅性重創之時完成，這本身亦顯示出其與當時中國社會、文化環境之間的不可分割的關系”。
本文主要論述近代中國文化轉型與數學、數學教育之間的關系，但回溯到 19 世紀末，以便銜接。
一、中國傳統文化的轉型
19 世紀末 20 世紀初，中國社會發生劇變，誠如李鴻章所驚呼的，中國遭遇“數千年未有之變局”、“數千年未有之強敵”，中國面臨著亡國滅種的危險，救亡與啟蒙也因之而起。鴉片戰爭后，由“師夷長技”致有洋務運動。洋務運動是從興辦軍需工業開始的，洋務運動啟動了中國近代化的閘門。有了近代工業，必須有新式教育，而科學、技術須求之于西方，這就要培養翻譯人才，同時地產生了留學外國的需要。甲午中國慘敗于日本蕞爾小國，致使從 1895 年到 1911 年間，不斷掀起維新反滿、新政立憲、起義革命。這是一個大變動的時期，也正是在這期間，中國開始了超越洋務運動而進入以政治制度的變革為中心的歷史時期，改良與革命交相跌宕，一切文化現象無不顯示政治問題的折射。
1911 年 10 月 10 日武昌首義，中國歷經二千余年的君主專制政體，終于遭到了毀滅的命運。但在民國初年，政治失序，在此政局下，思想界一片混沌。共和制與君主制之爭、孔教之爭、新舊道德之爭，此起彼伏，爭論不休。但新思想、新觀念、新文化也恰恰在這種沖突中逐漸發展起來，為即將到來的新文化運動準備了條件。
新文化運動是由文化革命開其端的。1917 年初，胡適的《文學改良芻議》一文在《新青年》雜志第2 卷第5 號\\( 1917 年1 月\\) 上發表，成為文學革命的開場號角，接著陳獨秀在第 2 卷第 6 號《新青年》雜志上發表了氣勢如虹的《文學革命論》，文學革命從極少數人的醞釀、討論而開始變成將吸引許多人關注并令其以不同形式投身其中的一場運動了。新文化運動由此而蓬勃地開展起來。
在清末，因新教育的產生和發展，社會團體的倡興，以及公共傳媒系統的建立，初步形成了近代的社會公共文化空間。社會公共文化空間，是孕育新文化的溫床，是傳播新文化的網絡，是促進各種文化相互交流的渠道，是其相互競爭的演武場。晚清社會公共文化空間的形成，對于推進近代中國文化轉型，促進社會文化進步，具有極為重要的作用。
在清末，西方思想文化通過社會公共空間廣泛傳播，導致人們的思想觀念發生很大的變化。其中最主要的是尊君觀念的逐漸被擯棄和孔子與儒學獨尊地位的根本動搖。思想觀念上的這一重要變化，推動了文化的平民化和社會風俗的變革。到清末，中國的先覺分子開始初步意識到個人與個性的重要，它預示著中國近代新文化將如噴薄欲出的朝日，升起于東方。五四愛國運動的爆發，大大地促進了新文化運動更加高歌猛進，在各個領域里都取得了顯著的成績。
從清末到 20 世紀中葉以前，中國經歷了近代文化轉型。從上述對這種轉型的大致軌跡描述中，我們可以清楚地認識到，文化的轉型，不是一夜之間完成的突變，一種驟然的他文化取代，而是在文化內部變動逐漸積累的基礎上，又受到外來文化的刺激，并吸收其若干有益成分之后產生出新的文化。一個偉大民族的文化，在經歷不可避免的轉型之后，必定會更加煥發青春朝氣。
新文化運動實績的核心是文化觀念的轉變，這些主要觀念有: 平民主義、個性主義、科學的態度和開放的文化觀念。平民主義強調了新文化運動對喚起民眾、關注民眾、依靠民眾的重視?？茖W的態度是新文化運動的重要內容之一。人們關注如何將自然科學那種重實證、重實驗的精神和方法應用到其他學問的研究上，甚至推廣到對其他問題的解決上。正如任鴻雋所一再闡明的，科學的精神，是求真理，真理的作用，是要引導人類向美善方面行去?！覀兛梢哉f，科學在人生態度的影響，是事事要求一個合理的。這用理性來發明自然的秘奧，來領導人生的行為，來規定人類的關系，是近世文化的特采，也是科學的最大貢獻與價值。這種對科學的深刻認識，即使在今天也是十分高明和先進的。個性主義，是指解放人，解放人的個性，解放各個人的創造精神、創造力。這在近代中國是一個具有根本意義的重大問題，因為中國延續二千余年的大一統君主專制制度，和與其緊密相連的宗法制度，一貫抹殺、壓制人的個性，一個人生下來，就被置于禮儀、名教、綱常的網羅之中，不得自由行動，也無從自由思考。在這樣的社會條件下，如何能發揮人的自主能動性? 社會又如何能生機蓬勃、順暢發展呢?
文化的發展需要世界化，就是要以開放的文化心態處理中華文化與世界文化的關系。有了開放的文化心態，才能把中國文化如實地看成是世界文化的一部分，我們從世界文化中汲取于我們有益的成分，豐富和發展我們的文化，同時又把我們的文化之優秀的成分貢獻給世界，促進世界文化之進步。從我國近代文化轉型的歷程看: 對外，養成開放的文化心態，造成中國文化與世界文化的良性互動關系; 對內，充分地解放個性，發揮每個社會成員的主動精神和創造才能，這就是近代中國新文化發展的基本趨向。
這一時期，是中華民族文化衰敗走向振興的重要階段，也是像“文藝復興”那樣需要巨人而又產生巨人的時代。西方社會從文藝復興到 20 世紀初期，用了數百年時間的文化思潮嬗變過程，從五四之前的新文化運動到 1927 年，就大致在中國草率地反演了一遍。也正是在這一時期，現代意義上的自然科學，在中國真正扎下了根基。
二、中國傳統數學的嬗變
郭書春認為，中國傳統數學曾長期在世界上領先。我們有約一千八百年間是數學大國，約一千六百年間是數學強國，成為世界數學研究的中心。中國數學不僅影響了朝鮮、日本、越南及東南亞地區的數學發展，而且影響了印度、阿拉伯地區的數學，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，為變量數學的產生作出了貢獻?？墒?，西方在 17 世紀進入變量數學階段，突飛猛進，我國與西方數學的差距反而越來越大，由明末清初相差三四十年，到清末民初相差約二百年。中國傳統數學亦在此時中斷。
中國傳統數學中斷，是指在 19 世紀末至 20 世紀初，西方數學的內容、方法和思想方式已完全得到中國數學家的認同，傳統數學方法亦基本被取代?；蛘f中國傳統數學發生了嬗變。這種轉向主要表現在三個方面: 一是，西方數學知識在中國的傳播和研究情況。二是，中國數學家對西方數學研究內容的認識和態度的轉化和發展。三是，中國數學家的研究方法和思維模式的轉化過程。具有典型意義的是中國傳統數學中的精粹內容天元術、垛積術、四元術等被西方數學所取代及數學家的研究方法與研究內容的轉化?？滴鯐r期，傳入的借根方被中算家所認同，在天元術重新被解讀之后，乾嘉時期數學家圍繞天元術與借根方的優劣比較問題產生分歧，而天元術漸占上風，并得到了廣泛的流傳。到清代末年，大部分數學家都能夠清醒地意識到符號代數的先進性，代數學從此取代了天元術。三角函數及三角函數冪級數展開式傳入之后，中國數學家們為了理解和證明這些內容，將傳統數學中的成果與這一西方的數學方法結合起來，取得了一定的研究成果\\( 如董佑誠將三角函數冪級數展開式的研究與傳統垛積術聯系起來; 李善蘭、劉彝程等依然利用八線的概念闡述三角函數等\\) 。至清代末年，隨著近代三角學的系統傳入，中國傳統數學的研究方法和內容逐漸從三角函數的研究中被剝離出來，三角學研究恢復了其純粹西方數學知識的面目。1860 年以后，符號代數和微積分學開始在中國傳播，并逐漸扎下根來。曾得出很多出色成果的傳統代數學———天元術和四元術幾乎很快就被符號代數所取代。特別是垛積術，本來是中國傳統數學中成就頗豐的一個研究領域，可能是 16 世紀以后唯一取得領先于世界成果的中國傳統數學分支。但是，到 19 世紀末，中國傳統垛積術也終于被徹底地代數化了。
三、中國近代數學的崛起
中國的近代數學是我國數學家自己創立的。20 世紀前 30 年出國留學的數學家是一批在我國播種近代數學種子的拓荒者。在中國人于 20 世紀 20 年代邁進近代數學的大門時，西方學者已從開創各個研究方向起走過了近百年的歷程，歐洲數學家對數學的認識也發生了根本性的變化。由于篇幅的限制，這里只十分簡略地提及國際上 19 世紀末 20 世紀初在數學和科學中的典型成果，就可以明白當時國際科學界和數學界已到達的水平。在數學領域，1899 年，希爾伯特《幾何基礎》出版; 1902 年，勒貝格積分建立; 1903 年，羅素悖論提出; 1906—1912 年，馬爾可夫過程建立; 1907 年，布勞威爾創立直覺主義數學學派; 1908 年，閔可夫斯基提出四維時空。在科學領域，1897 年，湯姆孫發現電子; 1898 年，威爾孫發明云室，居里夫婦發現釙和鐳; 1899年，盧瑟福發現 α 射線和 β 射線; 世紀之交，科塞爾和列文研究核酸及其組成;1900 年，普朗克提出量子論，諾貝爾基金會成立，1901 年 12 月 10 日頒發第一屆諾貝爾獎; 20 世紀初，高壓化學興起，合成橡膠問世，膠體化學創立; 1903 年，齊奧爾可夫斯基《利用噴氣工具研究空間》發表，湯姆孫原子模型提出，巴甫洛夫發現條件反射; 1904 年夫累銘發明電子二極管，威爾孫山天文臺創建; 1905 年，愛因斯坦提出電子說，創立狹義相對論，等等。
這些偉大成就簡直令今天的我們都瞠目結舌，但那是上個世紀之交的事。在國際學術交流方面，1865 年倫敦數學學會創立，1872 年法國數學學會創立，緊隨其后，在 19 世紀 80 年代，蘇格蘭的愛丁堡數學學會、意大利的巴勒莫數學學會和美國紐約數學學會\\( 很快改名為美國數學學會\\) 相繼創立，接下來是 1890 年創立的德國數學學會。其中每一個機構都舉辦定期會議，出版期刊。國際數學家大會 1893 年第一次在芝加哥與哥倫布世界博覽會聯袂舉行。接著，1897 年最早的“官方”國際數學家大會在瑞士蘇黎世召開，此后每 4 年一屆。
而其中最著名的莫過于希爾伯特在 1900年巴黎舉行的第二屆大會上發表的著名演講《數學問題》。在這篇演講中，希爾伯特對各類數學問題的意義、源泉及研究方法發表了精辟見解，而整個演講的核心部分則是他根據 19 世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出的 23 個問題。這些問題涉及現代數學的大部分領域，它們的解決，對 20 世紀數學產生了持久的影響。
對此，我國當時的數學家還是游離于局外。20 世紀初，我國一批出國留學人員在國外著名大學或國際上重要的學術中心，跟隨數學大師學習與研究。其中一些留學歸國的數學家，他們學識淵博，傾全力投入數學教育工作，對教書育人精益求精，對提拔人才不拘一格，并盡力構建中國的數學學科建制。中國數學學會成立于 1935 年，與西方國家數學學會的成立晚了約半個世紀，而這也完全是中國數學家努力的結果，而且艱難發展，曲折前進。正是由于他們的敬業奉獻，培養了有一定數學基礎的年青人，然后出國留學，經過這樣二三代人的奮發努力，到 20 世紀三四十年代，我國已出現了能在世界數學研究前沿工作的數學家。以代數方面的研究來說，如曾炯\\( 函數域上的代數\\) 、華羅庚\\( 有限群論、體論、典型群和矩陣幾何\\) 、柯召\\( 二次型和矩陣論\\) 、李華宗\\( 矩陣論和克里福德代數\\) 、張禾瑞\\( 維特李環的自同構和表示\\) 、段學福\\( 有限群論、李群及李代數\\) 、王湘浩\\( 代數數論\\) 、嚴志達\\( 李群的貝蒂數\\) 、周煒良\\( 代數幾何\\) 等。此外，如陳建功、蘇步青、陳省身等在級數、微分幾何方面所取得的成就，一時群星璀璨，一派興旺景象。
四、中國近代數學教育的發軔
自第二次鴉片戰爭至甲午海戰的三十余年間，為“求強”、“求富”，制造船炮、編練新軍、開礦運輸、興辦學堂、派遣留學，等等，成為一時潮流。洋務學堂因時而起。洋務學堂大多屬中等層次，其培養目標在于造就應各項洋務事業急需的專門人才，隨主辦者的需要而轉移，在學業程度、課程設置、學習年限等方面基本處于各自為政狀態。
但洋務學堂比較重視數學教育。而同時，中國傳統書院也紛紛開始注重以數學課士。教會學校也大多開設有數學課程。壬寅學制\\( 1902 年\\) 的頒布、癸卯學制\\( 1903 年\\) 的頒行與學部\\( 1905 年\\) 的設立，數學教育開始制度化。在此期間，民間對西方數學著作的翻譯出版與數學叢書的編纂，數學雜志的創刊與數學社團的出現，推動了數學知識的傳播與普及。而科舉制度的改革以致最終于光緒三十一年\\( 1905\\) 廢除，數學教育和整個科學教育與科舉取士之間的矛盾至此獲得了基本解決。
民國時期\\( 1912—1922 年\\) ，教育模仿德國，并頒布了新學制和課程標準。這時期的數學教科書以自編為主，印刷精美。教育部公布的《審定教學用圖書規程》，為數學教材的編寫與出版提供了前提。此時，歐美的教育思想傳入中國，國外的多種教學模式如五段教學法、自學輔導法、分組教學法都被介紹到國內并在學校中進行實驗。
1922 年 11 月 1 日，《學校系統改革案》公布，壬戌學制正式產生，壬戌學制亦稱“新學制”。新學制模仿美國學制，中小學實行六三三制。中學開設選修課，采用學分制。由胡明復等起草中學數學各科課程綱要。根據新的課程綱要，編制新學制教科書。教科書仍由私人商辦書局組織人員編寫，經審定后印行。
這一時期的數學教科書多是在歐美教科書基礎上加以適當的篩選增刪而編成。為了對新學制時期的中學數學課程綱要和按照這一綱要所編制的教科書得到具體的了解，這里選取了高中代數課程綱要和新學制高級中學教科書《代數學》的內容。
三角、幾何、解析幾何原就是西方的數學知識為主，然而，即便是代數，從這份課程綱要和教科書目錄中也很少看到中國傳統數學的內容了。從數學教學法的改革來說，20 世紀 20 年代初，設計教學法在中國風行一時。設計教學法尊重兒童的學習興趣和學習需要; 貫通了各部分數學知識之間的聯系，提高學生解決實際問題的能力; 培養兒童獨立研究問題的能力和事業責任心。道爾頓制也在這時進入我國，道爾頓制最突出的一點就是廢除年級和班級的教學，實行個別化教學。學生在教師的指導下，各自主動地以不同的教材、速度和時間進行學習，來適應兒童各自不同的能力、興趣和需要，從而發展其個性。這些改革，對提高教學的總體水平和對舊教學的改造方面，起到了顯著的推動作用。但由于對各種方法不能一下子認清其利弊之真正所在，在具體實施時，照搬照抄，全盤吸收，導致了一定的消極影響。
經過 1922 年以改革學制為中心的教育改革，初步建立起較合適的學校系統和一套規章制度，各級教育日趨完善。在課程標準中，也初步提出了結合數學特點和學生特點的教學方法，對學生在整個教學過程中的地位和作用，也較為重視。注意到培養學生的技能、技巧和運用知識于實踐。要求激發學生的學習欲望，使他們主動地學習。到這個時期，可以認為，我國數學教育體制的近代轉型已基本完成，包括學制、教學體系、教學內容等，同時，對教學思想、教學方法也引起了關注，并開展了初步的研究和試驗。中國傳統數學教育從內容到形式，都已經不再占據主導地位和主流趨勢。
五、結語
19 世紀和 20 世紀之交，我國在各方面都面臨著急劇的變革，我國數學、數學教育的近代化也是在這一時期完成的。如果追溯根源，乾嘉時期?？惫潘銜?、講究實事求是的實證化的實學，其研究精神和研究方法，和現代科學是內在相通的，而且與當時傳入的歐洲數學的方法和特點若合符節，這也影響了后世西方數學在中國的傳播。民初政治的烏煙瘴氣導致進行深層文化改造的運動，新文化運動迎來了中國思想界空前活躍的新時代，教育界也出現了學習西方教育的熱潮，取法的重心，從日本、德國而轉向美國。由于留歐、留美、留日學生的學成歸國，西方學制和教育思想得到深入介紹，1922 年新學制的誕生也是水到渠成了。
新學制是中國教育界、文化界共同智慧的結晶。在中國近代教育史上，1922 年新學制是一座里程碑，是一次力圖與國際教育和現代化趨勢接軌的，比較成功的學制改革，達到了“糾正舊制的缺點”和“適應時代的要求”的目的。數學教育在這一時期基本完成了由傳統向近代轉化的過程。
我國的數學曾有過輝煌的歷史，但在 19 至 20 世紀之交，我們已大大落后于世界先進國家，連“會通”的資格都將要喪失了。在經過幾代留學歸國學者的努力下，我國數學終于開始在困頓中崛起。
當前，我國正處于全國范圍的基礎教育課程改革，國外的教育理念、教育理論，教學方式與方法，教學的內容等都在不同層面上以不同的方式被引入，同時，也有人一再地在強調國情，強調本土化，強調傳統。各種觀點的爭議，見仁見智，眾說紛紜。以史為鑒，數學和數學教育的近代化過程，可以為我們處理今天改革中遇到的各種問題，提供了一個很好的參照。
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